2812 Fragen zu Lineare Funktion

Eine lineare Zeit-Ort-Funktion beschreibt die Beziehung zwischen der Zeit und dem Ort (Position) eines Objekts, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Sie hat die Form: \[ s(t) = v \cdot t + s_0 \] wobei: - \( s(t) \) der Ort (Position) zum Zeitpunkt \( t \) ist, - \( v \) die konstante Geschwindigkeit ist, - \( t \) die Zeit ist, - \( s_0 \) der Anfangsort (Position bei \( t = 0 \)) ist. Diese Funktion ist linear, weil die Änderung des Ortes direkt proportional zur Zeit ist.

Die zugehörige lineare Funktion kann in der Form \( f(x) = mx + b \) dargestellt werden, wobei \( m \) die Steigung (Preis pro Minute) und \( b \) der y-Achsenabschnitt (Grundgebühr) ist. In diesem Fall beträgt die Grundgebühr 12 Franken und der Preis pro Minute 8 Rappen (0.08 Franken). Die lineare Funktion lautet daher: \[ f(x) = 0.08x + 12 \] Hierbei ist \( x \) die Anzahl der Minuten und \( f(x) \) die Gesamtkosten in Franken.

Eine lineare Funktion beschreibt eine Beziehung zwischen zwei Variablen, die durch eine gerade Linie dargestellt wird. In der Physik wird oft die Beziehung zwischen Zeit und Ort (Position) durch eine lineare Funktion beschrieben, insbesondere bei gleichförmiger Bewegung. Hier ist ein Vergleich der allgemeinen Form einer linearen Funktion und der spezifischen Anwendung auf Zeit und Ort: 1. **Allgemeine Form einer linearen Funktion:** - Mathematische Darstellung: \( y = mx + b \) - \( y \): abhängige Variable - \( x \): unabhängige Variable - \( m \): Steigung der Linie (gibt die Änderungsrate von \( y \) in Bezug auf \( x \) an) - \( b \): y-Achsenabschnitt (Wert von \( y \), wenn \( x = 0 \)) 2. **Lineare Zeit-Ort-Funktion (gleichförmige Bewegung):** - Physikalische Darstellung: \( s(t) = v \cdot t + s_0 \) - \( s(t) \): Ort (Position) zur Zeit \( t \) - \( t \): Zeit - \( v \): konstante Geschwindigkeit (entspricht der Steigung \( m \) in der allgemeinen Form) - \( s_0 \): Anfangsposition (entspricht dem y-Achsenabschnitt \( b \) in der allgemeinen Form) **Vergleich:** - **Unabhängige Variable:** - Allgemeine Form: \( x \) - Zeit-Ort-Funktion: \( t \) (Zeit) - **Abhängige Variable:** - Allgemeine Form: \( y \) - Zeit-Ort-Funktion: \( s(t) \) (Ort/Position) - **Steigung:** - Allgemeine Form: \( m \) - Zeit-Ort-Funktion: \( v \) (Geschwindigkeit) - **y-Achsenabschnitt:** - Allgemeine Form: \( b \) - Zeit-Ort-Funktion: \( s_0 \) (Anfangsposition) In beiden Fällen beschreibt die lineare Funktion eine direkte proportionale Beziehung zwischen den Variablen. Bei der Zeit-Ort-Funktion bedeutet dies, dass sich der Ort linear mit der Zeit ändert, wenn die Geschwindigkeit konstant ist.

Eine lineare Funktion ist eine mathematische Funktion, die eine gerade Linie im Koordinatensystem darstellt. Sie hat die allgemeine Form: \[ f(x) = mx + b \] Dabei sind: - \( f(x) \) der Funktionswert, - \( x \) die unabhängige Variable, - \( m \) die Steigung der Linie, die angibt, wie stark die Linie ansteigt oder abfällt, - \( b \) der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet. Ein Beispiel für eine lineare Funktion ist \( f(x) = 2x + 3 \). Hier ist die Steigung \( m = 2 \) und der y-Achsenabschnitt \( b = 3 \).

Eine lineare Funktion ist eine mathematische Funktion, die eine gerade Linie im Koordinatensystem darstellt. Sie hat die allgemeine Form: \[ f(x) = mx + b \] Hier sind die Bestandteile dieser Gleichung: 1. **\( f(x) \)**: Dies ist der Funktionswert oder der y-Wert. Es ist das Ergebnis, das du erhältst, wenn du einen bestimmten x-Wert in die Funktion einsetzt. 2. **\( x \)**: Dies ist die unabhängige Variable oder der x-Wert. Du kannst verschiedene Werte für x einsetzen, um die entsprechenden y-Werte zu berechnen. 3. **\( m \)**: Dies ist die Steigung der Linie. Sie gibt an, wie steil die Linie ist. Eine positive Steigung bedeutet, dass die Linie nach oben geht, wenn man von links nach rechts schaut. Eine negative Steigung bedeutet, dass die Linie nach unten geht. 4. **\( b \)**: Dies ist der y-Achsenabschnitt. Es ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet. Wenn \( x = 0 \) ist, dann ist \( f(x) = b \). ### Beispiel Nehmen wir die lineare Funktion: \[ f(x) = 2x + 3 \] Hier ist \( m = 2 \) und \( b = 3 \). - **Steigung \( m = 2 \)**: Für jeden Schritt, den du nach rechts gehst (x um 1 erhöhst), geht die Linie zwei Schritte nach oben. - **y-Achsenabschnitt \( b = 3 \)**: Die Linie schneidet die y-Achse bei \( y = 3 \). ### Berechnung von Punkten Um Punkte auf der Linie zu finden, kannst du verschiedene x-Werte einsetzen: - Wenn \( x = 0 \): \[ f(0) = 2(0) + 3 = 3 \] Punkt: (0, 3) - Wenn \( x = 1 \): \[ f(1) = 2(1) + 3 = 5 \] Punkt: (1, 5) - Wenn \( x = -1 \): \[ f(-1) = 2(-1) + 3 = 1 \] Punkt: (-1, 1) ### Zeichnen der Funktion 1. Zeichne das Koordinatensystem. 2. Markiere den y-Achsenabschnitt (0, 3). 3. Verwende die Steigung, um weitere Punkte zu finden. Von (0, 3) gehe einen Schritt nach rechts (x um 1 erhöhen) und zwei Schritte nach oben (y um 2 erhöhen), um den Punkt (1, 5) zu finden. 4. Verbinde die Punkte mit einer geraden Linie. Das ist die grundlegende Idee einer linearen Funktion. Sie ist einfach zu verstehen und zu zeichnen, weil sie immer eine gerade Linie darstellt.

Eine lineare Funktion geht nicht immer durch den Ursprung. Eine allgemeine lineare Funktion hat die Form \( f(x) = mx + b \), wobei \( m \) die Steigung und \( b \) den y-Achsenabschnitt darstellt. Wenn \( b = 0 \), verläuft die Funktion durch den Ursprung (0,0). Wenn \( b \) jedoch ungleich 0 ist, schneidet die Funktion die y-Achse an einem anderen Punkt und geht somit nicht durch den Ursprung.

Die allgemeine Formel für eine lineare Funktion lautet\[ y = mx + b \] Dabei ist: - \( y \) der Funktionswert (y-Koordinate), - \( m \) die Steigung der Geraden, - \( x \) die unabhängige Variable (x-Koordinate), - \( b \) der y-Achsenabschnitt (der Wert von \( y \), wenn \( x = 0 \)). Diese Formel beschreibt eine gerade Linie in einem Koordinatensystem.

Um die lineare Funktion \( g \) zu ermitteln, die orthogonal zur Funktion \( f(x) = 4x + 4 \) verläuft und durch den Punkt \( Q(1, 1) \) geht, müssen wir zunächst die Steigung der Funktion \( f \) bestimmen. Die Steigung von \( f \) ist 4. Da zwei Linien orthogonal zueinander sind, ist das Produkt ihrer Steigungen gleich -1. Wenn die Steigung von \( f \) 4 ist, dann ist die Steigung von \( g \): \[ m_g = -\frac{1}{4} \] Jetzt verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung, um die Funktion \( g \) zu bestimmen. Die allgemeine Form lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Hier ist \( (x_1, y_1) = (1, 1) \) und \( m = -\frac{1}{4} \). Setzen wir die Werte ein: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 1) \] Nun lösen wir die Gleichung auf: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \] Die gesuchte lineare Funktion \( g \) ist also: \[ g(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \]

Um die lineare Funktion \( g \) zu ermitteln, dieogonal zur Funktion \( f(x) = 4x + 4 \) verläuft und durch den Punkt \( Q(1, 1) \) geht, müssen wir zunächst die Steigung der Funktion \( f \) bestimmen. Die Steigung von \( f \) ist \( m_f = 4 \). Eine Funktion, die orthogonal zu \( f \) ist, hat eine negative reziproke Steigung. Das bedeutet, dass die Steigung \( m_g \) von \( g \) gegeben ist durch: \[ m_g = -\frac{1}{m_f} = -\frac{1}{4} \] Jetzt verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung, um die Funktion \( g \) zu bestimmen. Die allgemeine Form lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Hierbei ist \( (x_1, y_1) = (1, 1) \) und \( m = -\frac{1}{4} \). Setzen wir die Werte ein: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 1) \] Nun lösen wir die Gleichung nach \( y \) auf: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \] Die gesuchte lineare Funktion \( g \) ist also: \[ g(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \]

Um eine lineare Funktion rechnerisch zu bestimmen, wenn dir zwei Koordinatenpunkte gegeben sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Bestimme die Punkte**: Nennen wir die beiden Punkte \( P_1(x_1, y_1) \) und \( P_2(x_2, y_2) \2. **Berene die Steigung (m)**: Die Steigung der Geraden, die durch die beiden Punkte verläuft, wird mit der Formel berechnet: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 3. **Verwende die Punkt-Steigungsform**: Mit der Steigung und einem der Punkte kannst du die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungsform aufstellen: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] 4. **Umformen zur allgemeinen Form**: Du kannst die Gleichung umformen, um sie in die allgemeine Form \( y = mx + b \) zu bringen, wobei \( b \) der y-Achsenabschnitt ist. Um \( b \) zu finden, setze einen der Punkte in die Gleichung ein und löse nach \( b \) auf. 5. **Endgültige Gleichung**: Setze die Werte für \( m \) und \( b \) in die Gleichung \( y = mx + b \) ein, um die lineare Funktion zu erhalten. Beispiel: Gegeben seien die Punkte \( P_1(1, 2) \) und \( P_2(3, 4) \). 1. Steigung: \[ m = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 \] 2. Punkt-Steigungsform mit \( P_1(1, 2) \): \[ y - 2 = 1(x - 1) \] 3. Umformen: \[ y - 2 = x - 1 \implies y = x + 1 \] Die lineare Funktion ist also \( y = x + 1 \).

Um zu zeigen, dass die Komposition \( g \circ f : V \to U \) linear ist, müssen zwei Eigenschaften überprüft werden: Additivität und Homogenität. 1. **Additivität**: Für alle \( v_1, v_2 \in V \) muss gelten: \[ (g \circ f)(v_1 + v_2) = (g \circ f)(v_1) + (g \circ f)(v_2) \] Beweis: \[ (g \circ f)(v_1 + v_2) = g(f(v_1 + v_2)) \] Da \( f \) linear ist, gilt: \[ f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) \] Also: \[ g(f(v1 + v_2)) = g(f(v_1) + f_2)) \] Da \( g \) linear ist, gilt: \[ g(f(v_1) + f(v_2)) = g(f(v_1)) + g(f(v_2)) \] Somit: \[ (g \circ f)(v_1 + v_2) = g(f(v_1)) + g(f(v_2)) = (g \circ f)(v_1) + (g \circ f)(v_2) \] 2. **Homogenität**: Für alle \( v \in V \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \) muss gelten: \[ (g \circ f)(\lambda v) = \lambda (g \circ f)(v) \] Beweis: \[ (g \circ f)(\lambda v) = g(f(\lambda v)) \] Da \( f \) linear ist, gilt: \[ f(\lambda v) = \lambda f(v) \] Also: \[ g(f(\lambda v)) = g(\lambda f(v)) \] Da \( g \) linear ist, gilt: \[ g(\lambda f(v)) = \lambda g(f(v)) \] Somit: \[ (g \circ f)(\lambda v) = \lambda g(f(v)) = \lambda (g \circ f)(v) \] Da sowohl die Additivität als auch die Homogenität erfüllt sind, ist die Komposition \( g \circ f : V \to U \) eine lineare Abbildung.

Eine lineare Gebührenfunktion beschreibt die Kosten, die in Abhängigkeit von einer bestimmten Menge oder Nutzung anfallen, wobei die Kosten proportional zur Menge oder Nutzung steigen. Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist: \[ \text{Kosten} = \text{Grundgebühr} + (\text{variable Gebühr} \times \text{Menge}) \] Hierbei ist: - die Grundgebühr ein fixer Betrag, der unabhängig von der Menge anfällt, - die variable Gebühr der Betrag, der pro Einheit der Menge anfällt, - die Menge die Anzahl der Einheiten, für die die Gebühr berechnet wird. Ein Beispiel könnte eine Telefonrechnung sein, bei der eine Grundgebühr von 10 Euro pro Monat anfällt und zusätzlich 0,05 Euro pro Minute Gesprächszeit berechnet werden. Die Gebührenfunktion wäre dann: \[ \text{Kosten} = 10 + (0,05 \times \text{Minuten}) \] Wenn du 200 Minuten telefonierst, wären die Kosten: \[ \text{Kosten} = 10 + (0,05 \times 200) = 10 + 10 = 20 \text{ Euro} \]

Eine lineare Zeit-Ort-Funktion beschreibt die Position eines Objekts in Abhängigkeit von der Zeit, wenn es sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die allgemeine Form dieser Funktion ist: \[ s(t) = s_0 + v \cdot t \] Hierbei steht: - \( s(t) \) für die Position des Objekts zur Zeit \( t \), - \( s_0 \) für die Anfangsposition des Objekts, - \( v \) für die konstante Geschwindigkeit, - \( t \) für die Zeit. Diese Gleichung zeigt, dass die Position \( s(t) \) des Objekts linear mit der Zeit \( t \) zunimmt oder abnimmt, abhängig von der Richtung und dem Vorzeichen der Geschwindigkeit \( v \).

Um eine lineare Funktion zu zeichnen, folge diesen einfachen Schritten: 1. **Bestimme die Funktion**: Eine lineare Funktion hat die Form \(y = mx + b\), wobei \(m\) die Steigung und \(b\) der y-Achsenabschnitt ist. 2. **Finde den y-Achsenabschnitt**: Setze \(x = 0\) in die Gleichung ein, um den Punkt zu finden, an dem die Linie die y-Achse schneidet. Dieser Punkt ist \((0, b)\). 3. **Berechne einen weiteren Punkt**: Wähle einen Wert für \(x\) (z.B. \(x = 1\)) und berechne den entsprechenden \(y\)-Wert, indem du ihn in die Funktion einsetzt. Du erhältst einen weiteren Punkt \((1, y)\). 4. **Zeichne die Punkte**: Trage die beiden Punkte auf ein Koordinatensystem ein. 5. **Verbinde die Punkte**: Ziehe eine gerade Linie durch die beiden Punkte. Diese Linie stellt die lineare Funktion dar. 6. **Überprüfe die Steigung**: Achte darauf, dass die Steigung \(m\) korrekt dargestellt ist. Eine positive Steigung bedeutet, dass die Linie nach oben geht, während eine negative Steigung nach unten zeigt.

Die lineare Gleichung unter den gegebenen Optionen ist: 2x – 4 = 0 Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades, das heißt, die höchste Potenz der Variablen x ist 1.